Topologia della muraglia: dimostrazione

[alex]

La differenza fra metodo scientifico e metodo tradizionale è la seguente: il metodo tradizionale usa l'esperienza, l'autorità degli esperti, la logica raffinata per risolvere un quesito; il metodo scientifico sottopone il quesito a un esperimento e prende atto dei risultati, spesso avvalendosi di un modello.

Il problema è: la muraglia può assumere la nota forma conica senza che la sua superficie si stiri e quidi il suo spessore vari?

Bene, prendiamo un foglio di carta quadrettata, lasciamo tre lati diritti lungo i quadretti, e tagliamo il terzo lato con una forma curva:



Siamo d'accordo sul fatto che un foglio di carta quadrettato è indeformabile nel senso che non può essere "stirato", può essere solo piegato ma anche se piegato la distanza fra le sue linee verticali e orizzontali resta invariata e neppure varia il suo spessore? Se dite di no vi dò una testata. E' così e basta!

Bene, adesso io piegherò questo foglio di carta creando una forma conica quasi esattamente identica alla forma della muraglia. Guardate qui:







Quindi, poche balle: la muraglia può crescere con la stessa velocità in tutti i punti della corona, e scendendo verso il suolo può assumere una forma conica senza minimamente stirarsi, nè, quindi, variare il suo spessore.

Non dico che lo faccia: dico che potrebbe farlo, anche se l'intuito e la logica affermano che non può farlo. Invece l'evidenza dice che può farlo. E forse lo fa effettivamente.

Ipparco, ti ho convinto? Bowker sarà un ottimo anatomista ma se ha affermato che non può farlo, sbaglia. L'autorità di Bowker non c'entra nulla: l'evidenza dice che sbaglia.

beninteso: il bello del metodo scientifico è che gli esperimenti possono e devono essere ripetuti.... prendete un foglio di carta quadrettata e ripetete il difficile  esperimento.

[Fioravante Patrone]

Ma tu, sapendo che c'è un matematico che bazzica da queste parti, hai osato scrivere di topologia? Te ne farò pentire! 

[alex]

Non no: non farlo! Non dimostrare quello che ho detto matematicamente! 

Giuro non lo faccio più!

[Fioravante Patrone]

Beh, almeno DEVO dire che non è un problema topologico, ma di isometria di varietà riemanniane.
(Se fossi maligno, ti potrei suggerire: https://it.wikipedia.org/wiki/Isometria#Variet.C3.A0_riemanniane)


Volendo passare alla questione, direi che non si tratta di vedere se e come sia possibile deformare una superficie in un'altra, conservando angoli e distanze.
Per me è un problema di carattere dinamico. Quale tipo di processo di crescita può fornire il risultato di una "corona conica" di spessore trasversale uniforme?
Non è mio "pane quotidiano" questa robba, però se tu hai qualche riferimento in cui sia stato elaborato un modello matematico per la crescita della muraglia, magari provo a capirci qualcosa.

[DivinityOfDarkness]

io sto ancora cercando di ritagliare la carta, figuriaoci se mai riuscirò ad arrivare all'isometria di varietà rieccheccavolo.Però la questione è interessante, anche se non so perchè mi viene in mente Sheldon Cooper.

[alex]

Oddio.... fra te e Fioravante state superando i limiti della estrema semplicità delmio modellino. A me basta aver dimostrato che è possibile che, nonostante che la forma della muraglia sia conica, questo non significa affatto che necessariamente dall'alto al basso ci sia una "distensione", uno "stiramento elastico" della sua superficie.

Ma guardiamo di nuovo il modellino e osserviamo una caratteristica curiosa.

In tutti i punti del pezzo di carta ritagliato la larghezza non è mai superiore a quella nella sua parte iniziale (corrispondente alla corona). Anzi: tutte le laghezze sono identiche fino ad arrivare ai talloni; i quadretti non mentono.

Quindi potete sperimentare: metro da sarta, misurate la circonferenza della corona, tenendo il metro parallelo alla corona, e dovreste ottenere (se il modello è aderente alla realtà) la stessa identica misura spostando il metro verso il basso, tenendolo parallelo alla corona, finchè finiscono i talloni; e tutte le misure successive (più in basso) dovrebbero essere inferiori.

Non solo. Dalla superficie della muraglia traspaiono delle sottilissime scanalature verticali (i "tubuli"). Se il modello vale, questi tubuli decorreranno paralleli dalla muraglia alla punta; se invece la muraglia si stirasse, la loro distanza aumenterebbe man mano che si scende verso il basso.

Ancora un esperimento? Tracciate due linee parallele sulla muraglia - basta una leggera incisione (leggerissima, eh!) sulla superficie; abbastanza distanti fra di loro - diciamo cinque centimetri; e seguitele nel tempo. Se la muraglia si stirasse aumentando il suo diametro, allora, man mano che la parte superiore delle incisure scende, la distanza fra le incisure aumenterebbe.

Ma c'è una condizione di possibile "violazione dell'isometria": avviene quando c'è uno "slargamento", cosa che nel modellino non esiste. Guardando il modellino di profilo, da qualsiasi angolatura, il profilo è sempre una linea perfettamente diritta. E' una caratteristica di questa superficie: se non si stira, non può fare alcuna gobba nè alcuna concavità. Lo dico a intuito: lascio volentieri la dimostrazione matematica a Fioravante. Ogni gobba e ogni concavità è prova di stiramento e di deformazione - in una parola, si discosta dalla norma: è - com'è in effetti - patologica.

Grazie a Fioravante, possiamo quindi concepire "la legge dell'isometria": "Nello zoccolo normale, la muraglia è isometrica". Ricordatevela: è una buona domanda da fare al vostro pareggiatore (ma le muraglie sono isometriche?) la prossima volta che viene a pareggiarvi il cavallo; oppure al vostro maniscalco, quando verrà a ferrarvelo. 

[Ipparco]

Effettivamente c'è poco da obiettare...
Immagino che cambiando un po' le proporzioni del ritaglio si possano ottenere anche conicità maggiori, o sbaglio?
Suppongo che la cosa funzioni grazie al fatto che è una superficie aperta, giusto?
Rimane il fatto che sono stati osservati sperimentalmente i cheratinociti che migrano dalle lamine verso la muraglia man mano che scende. Come si conciliano le due cose?

[alex]

Fermo restando che da patologo immagino cosa si può vedere, e immagino che sia istologicamente documentabile che il fenomeno avviene, ma che sia difficilissimo quantificarlo, non ho una risposta precisa; mi basta aver dimostrato che non è necessario che avvenga un deposito notevole di materiale per spiegare perchè lo spessore della muraglia resta costante nonostante la forma conica dello zoccolo; ed in effetti, pensando alla durezza della sostanza cornea della muraglia, l'intuito dice che ipotizzare una deformazione plastica di questo materiale è difficile. Probabilmente la possibilità esiste di una deformazione plastica esiste; ma non può essere che estremamente limitata e probabilmente ristretta nell'ambito della patologia (es. slargamento).

Ti metto inoltre in guardia su un'altra "falsa isometria": l'esperimento del taglio obliquo di un cilindro di spessore costante dimostra, se lo fai, che la  costanza dello spessore della muraglia tutt'attorno allo zoccolo del mustang NON dimostra affatto che il consumo è regolare in tutto il perimetro dello zoccolo, anzi: dimostra che il consumo è diverso, e maggiore nella punta; altrimenti lo spessore apparente della muraglia dovrebbe essere maggiore in punta e minore ai quarti. In pratica, gli zoccoli del mustang dimostra che avviene un mustang roll naturale che "smorza gli spigoli" e crea quell'apparente isometria che non esclude affatto, ma nemmeno dimostra, che lo spessore della muraglia sia costante.

A me interessa partiocolarmente che i migliori pareggiatori non facciano lo stesso errore del maniscalchi chiamando "spessore della muraglia" quello che appare dal fondo dello zoccolo 

[Fioravante Patrone]

Effettivamente c'è poco da obiettare...
Immagino che cambiando un po' le proporzioni del ritaglio si possano ottenere anche conicità maggiori, o sbaglio?
Suppongo che la cosa funzioni grazie al fatto che è una superficie aperta, giusto?

Sì, cè poco da obiettare: il piano e una falda del cono (vertice escluso) sono varietà riemanniane isometriche:
http://people.maths.ox.ac.uk/hitchin/hitchinnotes/Geometry_of_surfaces/Chapter_3_Surfaces_in_R3.pdf

E, sì, cambiando le proprozioni si possono ottenere conicità maggiori (o minori).

Son certo che dicendo "superficie aperta" Ipparco voglia escludere le varietà senza bordo, come la superficie sferica o il toro bidimensionale (topologicamente la superficie di un cavallo, come di un toro o di una persona, è un toro(*) per via del condotto "alimentare").
Una superficie chiusa senza bordo è strutturalmente diversa da una superficie con bordo (tipo il ritaglio dal foglio di carta).

Rimane il fatto che sono stati osservati sperimentalmente i cheratinociti che migrano dalle lamine verso la muraglia man mano che scende. Come si conciliano le due cose?

Ribadisco quanto detto prima: più che gli aspetti topologici sulla deformabilità, a mio parere il punto importante è la generazione dinamica della muraglia.
Come si formano le macchie del leopardo o le strisce delle zebre?
Ecco, questo è il tipo di domanda cui sarebbe bello avere una risposta. Partendo dalla codifica del DNA, passando per il processo di effettiva costruzione della muraglia.

Uno step intermendio è un modello dinamico di generazione della muraglia, intendo del processo di accrescimento. Una equazione alle derivate parziali. Di cose in giro in argomento ce ne dovrebbero essere.

Non trascurerei neppure l'interesse di una analisi "strutturale" (da biongegneri), per capire vantaggi/svantaggi di avere una muraglia a spessore costante oppure no. Perché questo sarebbe importante dal punto di vista della pressione evolutiva.


(*) https://it.wikipedia.org/wiki/Toro_(geometria)

[Fioravante Patrone]

Ti metto inoltre in guardia su un'altra "falsa isometria": l'esperimento del taglio obliquo di un cilindro di spessore costante dimostra, se lo fai, che la  costanza dello spessore della muraglia tutt'attorno allo zoccolo del mustang NON dimostra affatto che il consumo è regolare in tutto il perimetro dello zoccolo, anzi: dimostra che il consumo è diverso, e maggiore nella punta; altrimenti lo spessore apparente della muraglia dovrebbe essere maggiore in punta e minore ai quarti. In pratica, gli zoccoli del mustang dimostra che avviene un mustang roll naturale che "smorza gli spigoli" e crea quell'apparente isometria che non esclude affatto, ma nemmeno dimostra, che lo spessore della muraglia sia costante.

A me interessa partiocolarmente che i migliori pareggiatori non facciano lo stesso errore del maniscalchi chiamando "spessore della muraglia" quello che appare dal fondo dello zoccolo 

Hai la mia benedizione su entrambi gli aspetti.
Un fenomeno "illusorio" come quello che descrivi si ha quando si rappresenta nel piano il grafico di due funzioni che sono l'una il traslato dell'altra, come  x^2  e  x^2 + 1
Se uno guarda il grafico, allontanandosi dall'origine sembra che le curve si avvicinino. Perché (correttamente, in un certo senso) non misuriamo localmente la distanza tra le curve guardando alla differenza sulle ordinate.

[alex]

L'ipotesi dell'algoritmo di crescita della muraglia è semplicissimo: velocità costante e direzione costante - rispetto al modello: aggiunta in alto di una nuova riga di quadretti larga esattamente come quella "spostata in basso". La muraglia origina, come forse sai, da una struttura specializzata del corion fatta di lunghe papille parallele al senso di crescita della muraglia, tipo "letto di fachiro".

Sì, esiste un vantaggio meccanico nello spessore uniforme, ne parlava Peter Laidely, ex-meccanico: il fatto che le forze elastiche di espansione-contrazione della struttura conica (l'elaterio) si distribuiscono uniformemente nell'intera muraglia; al contrario, la presenza patologica di "colonne di ispessimento" crea dei punti critici di accumulo delle forze e quindi una accentuazione locale delle deformazioni, il che favorisce la "fatica" e la successiva rottura (le famose setole); per cui la sua strategia nel trattare le setole era quella di identificare queste "colonne di ispessimento" (si sentono con il tatto più che vedersi con gli occhi) e rasparle via in modo da restituire alla muraglia l'uniformità di spessore.

[Ipparco]

Sì, che spessore e superficie a terra fossero due concetti da tenere ben distinti mi è sempre stato chiaro, invece finora mi era sfuggito questo aspetto dell'isometria. Intuitivamente anche a me non tornava il discorso dello stiramento, non tanto per la consistenza della muraglia, quanto proprio per il parallelismo dei tubuli, che si conserva dalla corona fino a terra, e non si concilia con l'idea dello stiramento. Ora il mosaico ha diverse tessere in più!
Vorrei comunque segnalare che la muraglia ha un comportamento viscoelastico, anche se con una viscosità altissima. Lo dimostra ad esempio il fatto che se si lascia più lunga una zona per tanto tempo (tipicamente succede ai quarti) si arriva a deformare tutta la muraglia fino in corona, e che se si scarica la zona deformata, di solito recupera la forma corretta nel giro di poco tempo (a volte è questione di ore o pochi giorni). Direi che succeda lo stesso nel caso di slargamenti di origine meccanica.
Non dovrebbe stupire più di tanto, visto che anche il vetro, che tutti consideriamo un solido, è in realtà un fluido con una viscosità elevatissima...

Segnalo anche un'idea letta di recente su The Horse's Hoof: che nel caso di deformazioni prossimali della corona, lo spessore della muraglia si riduca a causa dell'avvicinarsi tra loro (in proiezione) delle papille della corona (visto che la sua inclinazione rispetto al "piano" della muraglia aumenta), e la contemporanea riduzione di materiale intertubulare causi un infragilimento della muraglia interessata.
Non so se sono riuscito a rendere il concetto..

[Fioravante Patrone]

L'ipotesi dell'algoritmo di crescita della muraglia è semplicissimo: velocità costante e direzione costante - rispetto al modello: aggiunta in alto di una nuova riga di quadretti larga esattamente come quella "spostata in basso".

Assolutamente no!
Questo tuo modello di crescita porta a una superficie cilindrica, non alla superficie di un cono.

E' il tuo punto di partenza di questo thread che è ingannevole.
Tu ritagli da un foglio PIANO a quadretti, e questo va benissimo. E infatti c'è l'isometria...

Ma NON ritagli da un RETTANGOLO.
Qui sta la fregatura. Da dove nasce quello che tu chiami "terzo lato" (in realtà ovviamente volevi dire il "quarto")? Intendo il "lato curvo".

Per capire come vanno davvero le cose serve, come ho già detto, un modello dinamico, generativo della superficie.

[alex]

Certo che ritaglio da un rettangolo. Guarda bene la prima foto.... è un rettangolo, a cui ho tagliato via carta solo in basso. In alto, prima del taglio, è un rettangolo eccome. Strano ma vero.

Posso benissimo aggiungere una riga esatta di quadretti in alto, "raspare la muraglia" (ritagliare) in basso, e nessuno si accorgerà della differenza..... tranne che tutti i quadretti saranno spostati in basso.

Pensaci ancora.

Certo che se siamo in difficoltà dev'essere una cosa veramente difficile da afferrare.... e pansare che a decine di migliaia di persone sembra un'assoluta banalità..... 

[Fioravante Patrone]

Uffa, ho fatto un errore di distrazione. Non volevo dire:
Ma NON ritagli da un RETTANGOLO
e, comunque, è chiaro che RITAGLI da un rettangolo.

Volevo dire:
Ma NON parti da un RETTANGOLO
Cioè, la figura che pieghi per avere il tuo cono non è un rettangolo.

"Devi" partire da una figura piana con un lato curvo, se vuoi avere il cono "somigliante alla muraglia".
E questo è il fatto rilevante.
La tua dinamica genera (nel piano) un rettangolo, e con questo, piegandolo, non ci fai un cono.


Anzi, ne approfitto per puntualizzare una cosa.
Quella cosa che ho chiamato "isometria di varità riemanniana" (solo per mettere in evidenza che la struttura coinvolta non era topologica, ma differenziabile e metrica), qui è semplicemente quella cosa che si impara da piccoli: lo "sviluppo piano" delle superfici di solidi.
Allora, lo sviluppo piano di un tronco di cono è noto come è fatto:



Quindi, se vuoi davvero ottenere un (tronco di) cono, non solo devi partire da una figura piana con un lato "curvo", ma non puoi neanche partire da "tre lati di un rettangolo" e un lato curvo.
Ti servono due lati curvi (dove "inizia" e dove "finisce" la muraglia) e i due lati dritti NON puoi prenderli paralleli.

Ecco perché la tua dinamica non funziona.