Topologia della muraglia: dimostrazione

[Ipparco]

Concordo con Alex: se in corona aggiungi una riga e sotto togli altrettanto,ritorni esattamente alla condizione iniziale. Difatti abbiamo detto e verificato che in corona la muraglia viene prodotta in modo uniforme su tutta la circonferenza, quando tutto va bene.
Le strutture interne poi definiscono la forma a cui la muraglia si adatta, aderendovi.
Sono su cellulare x cui sarò sintetico: la nostra superficie di zoccolo non è un cono perfetto e inoltre i due piani che delimitano verticalmente la sezione di cono non sono parallele, per cui direi che lo sviluppo possa essere senza problemi una parte di rettangolo. Del resto, il modellino cartaceo di zoccolo è lì, visibile, e abbastanza fedele all'originale..

[alex]

Che dire Fioravante? Io ho preso un rettangolo, l'ho piegato, e ho simulato (con le forbici) il consumo della muraglia verso il basso; ed è venuta fuori quella cosa che ho fotografato. Se la matematica afferma che non è possibile farlo, toccherà cambiare la matematica.... la scienza ha questo di bello: cede all'evidenza.

Invece volevo riprendere - sempre con il mio modellino di carta quadrettata - il concetto di "muraglia viscoso-elastica", ossia: non rigida, ma nemmeno totalmente elastica; in grado di variare lentamente la sua forma.

La prova è che scendendo verso il basso, il raggio di curvatura della linea orizzontale cortituita dalle file di quadratini evidentemente varia; e varia aumentando assai regolarmente dall'alto al basso. Penso che questa deformazione progressiva fisiologica dipenda dall'elaterio fisiologico. E penso anche che le variazioni patologiche dell'elaterio disturbino questa lenta deformazione: se eccessivo, la muraglia dovrebbe tendere a deformarsi eccessivamente e diventare iperconica; se scarso, la muraglia dovrebbe deformarsi insufficientemente e tendere a diventare cilindrica. Il tutto, senza necessariamente variare nulla della superficie della muraglia, e il parallelismo dei tubuli.

Sta a vedere che siamo sulla strada per capire come si deve il "piede collassato" e il "piede contratto"....

[Fioravante Patrone]

Se volete sparisco da questo thread, però, da un punto di vista matematico, questa affermazione di alex:

L'ipotesi dell'algoritmo di crescita della muraglia è semplicissimo: velocità costante e direzione costante - rispetto al modello: aggiunta in alto di una nuova riga di quadretti larga esattamente come quella "spostata in basso". La muraglia origina, come forse sai, da una struttura specializzata del corion fatta di lunghe papille parallele al senso di crescita della muraglia, tipo "letto di fachiro".

continua a non spiegare la generazione di un cono o tronco di cono. Ma da come risultato un cilindro.
Ed è basata sull'assunzione ERRATA che si trovi un tronco di cono piegando un rettangolo "con un lato curvo".

Buona continuazione.

PS
Però non accetto espressioni come questa, che sono "cattiva scienza":
Se la matematica afferma che non è possibile farlo, toccherà cambiare la matematica.... la scienza ha questo di bello: cede all'evidenza.
infatti la soluzione non è "cambiare la matematica" (si può fare, ed è stato fatto, ma se permetti per ragioni un po' più importanti), ma banalmente ammettere che si è usato un modello matematico di una situazione reale che è grossolanamente sbagliato.
E quando dico "grossolanamente sbagliato", intendo dire che c'è un altro modello con le seguenti caratteristiche:
- è di complessità analoga
- lavora a un livello di approssimazione non inferiore
- descrive molto meglio la situazione reale.

[alex]

Ti suggerisco un esperimento topologico Fioravante: prendi un cono (o fattelo, di cartone colorato); prendi un rettangolo di carta e avvolgilo sul cono. Non badare al margine inferiore: lo taglierai via orizzontamente. Guarda solo cosa succede in alto. Succede che il lato superiore del foglio rettangolare che hai applicato sul cono NON resta orizzontale, ma risulta inclinato; esattamente come la corona NON è orizzontale, ma è inclinata rispetto al terreno.

Sto verificando con un foglietto di carta rigorosamente rettangolare avvolto attorno al cono costituito dalla parte superiore di una bottiglia di amuchina da litro.... non solo "viene" perfetto, ma noto che - come nel primo modello - guardando di lato il profilo della muraglia è parallelo al profilo dei talloni - che sia una regola geometrica generale?

Mi spiace - leggo adesso che nel frattempo hai aggiunto una risposta. La mia era una battuta: figuriamoci, lo so bene che la matematica è infallibile. E non scherzo. La fallibilità è tutta dell'uomo, che non la applica sempre in modo corretto. Sarebbe un vero peccato se te ne andassi da questo 3d.

[alex]

Mi è morto il topico?

Questa storia del rettangolo avvolto sul cono fa varie vittime....  ecco quello che dice un ingegnere in un forum molto tecnico, il quesito era identico: un'etichetta rettangolare può essere "avvolta senza grinze" a una superficie conica?

il problema, matematicamente, non ha soluzione. Lo sapete vero?
I lati alto e basso diventano due archi di cerchio di raggio pari alle sezioni del cono. I lati corti invece diventano due archi di iperbole equilatera.
E' piuttosto intuitivo che l'angolo tra i quattro lati non resta di 90°, e quindi un'etichetta non può coprire la superficie senza fare grinze, o senza essere gommosa.http://www.cad3d.it/forum1/showthread.php?22426-SVILUPPO-SU-SUPERFICI-CONICHE&p=183071&viewfull=1#post183071

la risposta è vera: ma vale solo se si pretende di mettere l'etichetta dritta. Infatti, altri utenti del forum dicono che l'etichetta si appiccica e come, e senza grinze; ma non sta dritta. :-)

Ulteriore dimostrazione.

Si prenda un cartoncino e si ritagli lo sviluppo di una superficie conica (facilissimo: si ritaglia un cerchio e poi si taglia un raggio; avvolgendolo in seguito in corrispondenza del taglio si realizzeranno coni di varia ampiezza, fino al "cono limite" che è, appunto, il piano).

Su tale sviluppo del cono si tracci un rettangolo.

Poi si abvvolga a cono e si osservi che succede. Il disegno del rettangolo non può deformarsi che in un modo: incurvandosi; ma le lunghezze di tutti i lati, e qualsiasi lunghezza da qualsiasi punto a qualsiasi punto, misurati sulla superficie curva, non possono variare. E' cartoncino, piegabile ma indeformabile in lunhezze e larghezze.

Certo, il rettangolo non rimane dritto, si inclina. Ma nemmeno la corona è dritta.

Non solo. Possiamo anche deformare un po' il cono, esempio schiacciandolo di lato, anche abbastanza irregolarmente..... il rettangolo è sempre lì, deformato ma "rettangolare".

L'errore di Fioravante e dell'ingegnere è stato solo quello di immaginare che si parlasse di un rettangolo diritto. In quel caso hanno perfettamente ragione.

Fioravante, non fare il matematico indignato..... parliamone ancora! 

[Ipparco]

Ciao Alex,
io ti seguo ancora, ma essendo della tua stessa opinione non saprei bene cosa aggiungere.
Che un rettangolo si possa adattare a seguire una superficie conica l'hai già dimostrato, non so cos'altro si può dire..
Magari specifichiamo: la muraglia si può far corrispondere al foglietto rettangolare, mentre falange e affini possono rappresentare il bottiglione di amuchina o il cono di carta colorata.
Quanto al piede contatto o iperconico/collassato, penso che la tua ultima immagine del disco che può diventare cono arrotolandolo più o meno stretto abbia una certa analogia col problema..

[alex]

OK! Basta. Adesso aspettiamo solo la "prova contraria", fino a quel momento le cose stanno così.

[Nicola]

All'illustre matematico Fioravante oppongo il fatto che esistono le matematiche non euclidee, ed aggiungo che, in realtà, qui si sta cercando di "schematizzare" un modello esistente in natura.

Anche la matematica ha i suoi personali bachi......

[Ipparco]

In realtà la matematica, in quanto scienza esatta, non può avere bachi.. Al limite siamo noi ad avere dei bachi.. Può essere difficile trovare il modo giusto per descrivere matematicamente un fenomeno, ma il problema non è nella matematica, semmai in chi la applica senza le dovute accortezze. Io ad esempio non sarei in grado di definire matematicamente (con delle formule, intendo) il problema della muraglia conica che cresce con una forma tridimensionale, perchè quel po' che sapevo di analisi e geometria è parecchio impolverato. Però l'analisi geometrica di Alex è logica e facilmente dimostrabile..

[alex]

Ma certo, è un "inghippo mentale" che può capitare ragionando su strutture tridimensionali. La prova del rettangolo disegnato sullo sviluppo del cono è conclusiva, esattamente come la prova dell'etichetta rettangolare appiccicata a un cono già fatto.

Mi spiace che Fioravante si sia risentito a nome della matematica.... quel "cambiamo la matematica" non l'ha presa come una battuta (figuriamoci, un'affermazione del genere è agli antipodi del mio carattere...)

[Nicola]

In realtà la matematica, in quanto scienza esatta, non può avere bachi.. Al limite siamo noi ad avere dei bachi..

falso

http://it.wikipedia.org/wiki/Teoremi_di_incompletezza_di_G%C3%B6del

In ogni formalizzazione coerente della matematica che sia sufficientemente potente da poter assiomatizzare la teoria elementare dei numeri naturali — vale a dire, sufficientemente potente da definire la struttura dei numeri naturali dotati delle operazioni di somma e prodotto — è possibile costruire una proposizione sintatticamente corretta che non può essere né dimostrata né confutata all'interno dello stesso sistema.


PS: adoro Godel

[Ipparco]

Io non sono un logico, per cui lasciatemi il beneficio del dubbio, ma da quel che ricordo/capisco i teoremi di Goedel non confutano la validità della matematica come scienza esatta. Dicono solo che la matematica non può dimostrare la validità assoluta della matematica stessa. Dalla stessa pagina di Wikipedia:
Lo stesso Gödel non credeva che i suoi teoremi avrebbero distrutto la fede nella matematica: disse infatti che semplicemente la completezza dell'aritmetica non poteva essere dimostrata dagli assiomi dell'aritmetica, ma occorreva qualcos'altro.

Interessante comunque il passaggio che c'è stato dal parlare di unghie, zoccoli e affini alla logica astratta

[Nicola]

A mio avviso è una evoluzione utile della discussione.

Secoli (millenni) di scienza per stabilire un "ordine generale" che, salvo eccezioni, regolasse il comportamento della natura, per poi arrivare, più o meno recentemente, a ragionare di complessità e di interazione tra sistemi viventi, e sull'imprevedibilità dei fenomeni.

Affascinante no? E di sicuro, un simile discorso è centratissimo se si discorre di cavalli, e dei loro piedi.

[Ipparco]

Sto riflettendo su questo topic da giorni, e vorrei condividere un "filo" di pensiero per vedere se porta qualche frutto.
Prendiamo in esame un attimo il discorso su contrazione o "collasso" dei piedi. In entrambi i casi è implicato un cambio di conicità.
Abbiamo anche detto che si può pensare che la muraglia sia un "foglietto" che scorre su un cono interno costituito da falange, cartilagini alari e cuscinetto plantare, che determinano la forma e la conicità della muraglia, così come succede con il foglietto di carta e il bottiglione di amuchina.
Quindi:
1) i cambiamenti di conicità dell'esterno sono accompagnati da un cambio di conicità dell'interno? Sempre? Secondo me sì, e soprattutto nel caso della contrazione. Nel caso del collasso potrebbe essere semplicemente il foglietto che si "allontana" dal bottiglione seguendo un cono inesistente, anche se poi il cono interno probabilmente seguirebbe un destino analogo. Secondo voi?
2) se le dimensioni del foglietto rimangono le stesse ma cambia il cono sottostante, più il cono diventa stretto, più i talloni si avvicinano e diventano paralleli, mentre nel caso opposto si allontanano e l'angolo che formano tra di loro aumenta. Quindi osservando questi aspetti su un piede, e come variano nel tempo, possiamo farci un'idea di come si sta modificando la forma complessiva del piede. Giusto? Osservazioni?
3) consideriamo il cono interno: un cono che viene compresso dall'alto tende ad aprirsi, ad appiattirsi. Soprattutto se è cavo all'interno. Quindi un piede normalmente dovrebbe tendere più a collassare che a contrarsi. Soprattutto se scalzo. Ferrato la situazione cambia radicalmente. Da qui nascono domande e considerazioni:
a) è importante che il piede abbia un sostegno, un riempimento anche al centro per non essere schiacciato troppo dal carico sovrastante. Fettone, barre, cuscinetto plantare, terriccio compresso nelle lacune ecc servono ad impedire al cono di spiattellarsi.
b) se le strutture interne sono già spiattellate, cosa si può fare per aiutarle a contrastare il carico che ci grava sopra? Usare dei riempitivi, o delle solette, può aiutare a recuperare una conicità corretta?
c) la contrazione sembra a questo punto un po' un controsenso. Le forze che agiscono sul piede tenderebbero più a farlo collassare che a contrarlo. Sappiamo che i ferri e/o l'atterraggio di punta possono causare contrazione, il primo perchè fissa il diametro inferiore del cono che nel frattempo si allunga, il secondo verosimilmente perchè stira in avanti la sagoma del piede facendola diventare lunga e stretta invece che rotonda. Sono gli unici meccanismi? Si possono contrastare? O sfruttare, magari per ridare conicità ad un piede troppo collassato/piatto?
4) nel caso di dislocazione distale della falange (o prossimale della muraglia), i due coni, interno ed esterno, si allontanano o invece il foglietto esterno rimane aderente ma si sposta verso l'alto, quindi andando a stringersi in corona? Da quanto ne so esistono entrambe le situazioni, in funzione delle cause che hanno portato alla dislocazione, e quindi possono essere differenti sia i danni che provoca che le strategie per risolverla. Commenti?

Questi sono alcuni spunti su cui mi piacerebbe fare un po' di "brainstorming". Penso siano tutti potenzialmente sviluppabili in qualcosa di più. In realtà molti sono già stati anche affrontati e sviscerati da altri, ma non basandosi sull'analogia di cui sopra..
Saluti

[alex]

Nella tua ricostruzione (sto facendo dei "pensieri paralleli") devi tener conto anche di una cosa: la terribile elasticità della muraglia (ricordi le osservazioni di Ramey?) che tende a mantenere il suo raggio. Ora, nello scendere berso il basso, il modellimo mostra chiaramente che il raggio aumenta ossia: mentre scende verso il basso, la muraglia esercita una fortissima pressione sui piani sottostanti, che viene meno con il tempo, probabilmente grazie alla piccola "plasticità" di cui è dotata la muraglia, oltre alla elasticità.

Se questo è vero, è impensabile che la forza che si oppone a questa "morsa" della muraglia mentre scorre sia trasmessa dal corion, che è una struttura molliccia. E' l'elaterio che "forza" la muraglia a espandersi.

E allora tutto va a posto: elaterio insufficiente, tipo piede poco caricato, oppure irrigidito dal ferro-> piede contratto; elaterio eccessivo, per eccessivo "scavo della suola" o per debolezza della muraglia o alterazione della sua elasticità-plasticità: piede collassato.

Il modello per rendersi conto di queste forze è una muraglia fatta di un cilindro elastico (un pezzo di tubo di cartone rende bene l'idea). Provate a distendere su un cono rigido un cilindro elastico di cartone aperto dietro: vedrete che resiste, e tende a "uscire" dal cono in basso. Per farlo scorrere bene e tenerlo ancorato occorre "agganciarlo" posteriormente ed in basso.... fare qualcosa come due "angoli di inflessione"; e comunque bisogna vincere la forza elastica che tende a restringerlo: occorre "stancarlo".

Conclusione: piede collassato, ridurre l'elaterio; piede contratto, aumentare l'elaterio.